Bài viết trình bày một số kiến thức cần lưu ý và hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập biến đổi các biểu thức chứa căn bậc hai thường gặp.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
1. Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn
Từ quy tắc khai phương một tích ta có:
$\sqrt {{A^2}B} = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = |A|\sqrt B $ với $B \ge 0.$
Tức là:
$\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0.$
$\sqrt {{A^2}B} = – A\sqrt B $ với $A \le 0$ và $B \ge 0.$
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
Từ $A = \sqrt {{A^2}} $ với $A \ge 0$ và quy tắc nhân căn bậc hai ta có:
+ Với $A \ge 0$, $B \ge 0$ thì $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} .$
+ Với $A < 0$, $B \ge 0$ thì $A\sqrt B = – \sqrt {{A^2}B} .$
3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn
Từ quy tắc khai phương một thương ta có:
Với $A.B \ge 0$ và $B \ne 0$ thì $\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{{B^2}}}} $ $ = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\sqrt {{B^2}} }} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{|B|}}.$
4. Trục căn thức ở mẫu
Muốn trục căn thức ở mẫu ta thường nhân liên hợp để làm xuất hiện $\sqrt {{A^2}} .$
Vì $\sqrt a \sqrt a = \sqrt {{a^2}} = a$, ta nói $\sqrt a $ liên hợp với $\sqrt a .$
Vì $(\sqrt A – \sqrt B )(\sqrt A + \sqrt B )$ $ = \sqrt {{A^2}} – \sqrt {{B^2}} = A – B$, ta nói $(\sqrt A – \sqrt B )$ liên hợp với $(\sqrt A + \sqrt B )$ và ngược lại.
II. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
1. Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.
2. Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai căn thì thứ tự thực hiện khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.
III. Bổ sung kiến thức: Chứng minh bất đẳng thức
1. Phép lập luận nhằm chứng tỏ một bất đẳng thức dạng $A > B$ (hoặc $A \ge B$, $A < B$, $A \le B$) là đúng được gọi là phép chứng minh bất đẳng thức.
2. Để chứng minh bất đẳng thức $A \ge B$ ta thường chứng minh theo một trong các sơ đồ sau:
+ Sơ đồ 1: Tạo ra dãy các bất đẳng thức trung gian:
$A \ge {A_1} \ge {A_2} \ge {A_3} \ldots .. \ge {A_n} \ge B.$
+ Sơ đồ 2: Tạo ra các bất đẳng thức bộ phận:
$ + \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{A_1} \ge {B_1}}\\
\begin{array}{l}
{A_2} \ge {B_2}\\
………
\end{array}\\
{{A_n} \ge {B_n}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow A \ge B$ (phép cộng các BĐT cũng chiều).
Hoặc:
$ \times \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{A_1} \ge {B_1} \ge 0}\\
{{A_2} \ge {B_2} \ge 0}\\
{ \cdots \cdots \cdots }\\
{{A_n} \ge {B_n} \ge 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow A \ge B$ (phép nhân các BĐT cùng chiều).
Trong cả hai sơ đồ trên thì dấu bằng của BĐT phải chứng minh xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở các BĐT bộ phận phải đồng thời xảy ra.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
I. Phương pháp giải
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
+ Chia các số trong dấu căn cho các số chính phương $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$ ….
+ Tách các biểu thức chứa biến thành lũy thừa chẵn.
2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.
+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
+ Thu gọn các căn thức đồng dạng.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:
a) $\sqrt 8 $, $\sqrt {20} .$
b) $\sqrt {18} $, $\sqrt {45} .$
c) $\sqrt {32} $, $\sqrt {80} .$
a) Vì $8 = 4.2$ nên $\sqrt 8 = \sqrt {4.2} $ $ = \sqrt 4 .\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .$
$20 = 4.5$ nên $\sqrt {20} = \sqrt {4.5} $ $ = \sqrt 4 .\sqrt 5 = 2\sqrt 5 .$
b) $\sqrt {18} = \sqrt {9.2} $ $ = \sqrt 9 .\sqrt 2 = 3\sqrt 2 .$
$\sqrt {45} = \sqrt {9.5} $ $ = \sqrt 9 .\sqrt 5 = 3\sqrt 5 .$
c) $\sqrt {32} = \sqrt {16.2} $ $ = \sqrt {16} .\sqrt 2 = 4\sqrt 2 .$
$\sqrt {80} = \sqrt {16.5} $ $ = \sqrt {16} .\sqrt 5 = 4\sqrt 5 .$
Ví dụ 2: Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:
a) $\sqrt {50a} .$
b) $\sqrt {75x} .$
a) $\sqrt {50a} = \sqrt {25.2a} = 5\sqrt {2a} .$
b) $\sqrt {75x} = \sqrt {25.3x} = 5\sqrt {3x} .$
Ví dụ 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a) $\sqrt {28{x^4}{y^2}} $ với $y \le 0.$
b) $\sqrt {63{a^2}{b^4}} $ với $a \ge 0.$
c) $\sqrt {147{{(a – 1)}^3}} .$
d) $\sqrt {192{{(y + 2)}^5}} .$
a) $\sqrt {28{x^4}{y^2}} = \sqrt {{{\left( {2{x^2}y} \right)}^2}.7} $ $ = \left| {2{x^2}y} \right|\sqrt 7 = – 2{x^2}y\sqrt 7 $ (vì $y \le 0$).
b) $\sqrt {63{a^2}{b^4}} = \sqrt {{{\left( {3a{b^2}} \right)}^2}.7} $ $ = \left| {3a{b^2}} \right|\sqrt 7 = 3a{b^2}\sqrt 7 $ (vì $a \ge 0$).
c) $\sqrt {147{{(a – 1)}^3}} $ $ = \sqrt {{{\left[ {7(a – 1)} \right]}^2}3(a – 1)} $ $ = 7(a – 1)\sqrt {3(a – 1)} .$
d) $\sqrt {192{{(y + 2)}^5}} $ $ = \sqrt {{{\left[ {8{{(y + 2)}^2}} \right]}^2}.3(y + 2)} $ $ = 8{(y + 2)^2}\sqrt {3(y + 2)} .$
Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:
$A = 2\sqrt 8 – 3\sqrt {32} + \sqrt {50} .$
$B = \sqrt {12} + 4\sqrt {27} – 3\sqrt {48} .$
$C = \sqrt {20a} + 4\sqrt {45a} – 2\sqrt {125a} $ với $a \ge 0.$
Vì $2\sqrt 8 = 2\sqrt {4.2} = 4\sqrt 2 $, $3\sqrt {32} = 3\sqrt {16.2} = 12\sqrt 2 $ và $\sqrt {50} = \sqrt {25.2} = 5\sqrt 2 $ nên $A = 4\sqrt 2 – 12\sqrt 2 + 5\sqrt 2 = – 3\sqrt 2 .$
Vì $\sqrt {12} = \sqrt {4.3} = 2\sqrt 3 $, $4\sqrt {27} = 4\sqrt {9.3} = 12\sqrt 3 $ và $3\sqrt {48} = 3\sqrt {16.3} = 12\sqrt 3 $ nên $B = 2\sqrt 3 + 12\sqrt 3 – 12\sqrt 3 = 2\sqrt 3 .$
Vì $\sqrt {20} = \sqrt {4.5a} = 2\sqrt {5a} $, $5\sqrt {45a} = 5\sqrt {9.5a} = 15\sqrt {5a} $ và $2\sqrt {125a} = 2\sqrt {25.5a} = 10\sqrt {5a} $ nên $C = 2\sqrt {5a} + 15\sqrt {5a} – 10\sqrt {5a} = 7\sqrt {5a} .$
Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $M = \sqrt {4(x – 1)} – \sqrt {9(x – 1)} – \sqrt {16(x – 1)} $ với $x \ge 1.$
b) $N = \sqrt {25(y + 4)} + \sqrt {36(y + 4)} – 2\sqrt {81(y + 4)} $ với $y \ge – 4.$
c) $P = \sqrt {(y – 2)} – 3\sqrt {64(y – 2)} + 4\sqrt {49(y – 2)} $ với $y \ge 2.$
a) $M = \sqrt {4(x – 1)} – \sqrt {9(x – 1)} – \sqrt {16(x – 1)} $ $ = 2\sqrt {x – 1} – 3\sqrt {x – 1} – 4\sqrt {x – 1} $ $ = – 5\sqrt {x – 1} .$
b) $N = \sqrt {25(y + 4)} + \sqrt {36(y + 4)} – 2\sqrt {81(y + 4)} $ $ = 5\sqrt {y + 4} + 6\sqrt {y + 4} – 18\sqrt {y + 4} $ $ = – 7\sqrt {y + 4} .$
c) $P = \sqrt {(y – 2)} – 3\sqrt {64(y – 2)} + 4\sqrt {49(y – 2)} $ $ = \sqrt {y – 2} – 24\sqrt {y – 2} + 28\sqrt {y – 2} $ $ = 5\sqrt {y – 2} .$
Dạng 2. ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN – SẮP THỨ TỰ CÁC CĂN BẬC HAI
I. Phương pháp giải
1. Viết $A \ge 0$ thành $\sqrt {{A^2}} .$
2. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai.
3. Rút gọn biểu thức trong căn.
4. So sánh các căn bậc hai nhờ định lý:
$a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $ với $a \ge 0$, $b \ge 0.$
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn:
$2\sqrt 5 $, $ – 3\sqrt 2 $, $ – \frac{2}{3}\sqrt {ab} $, $a\sqrt {\frac{3}{a}} $ với $a > 0$, $b \ge 0.$
Vì $2 = \sqrt {{2^2}} $ nên $2\sqrt 5 = \sqrt {{2^2}} .\sqrt 5 $ $ = \sqrt {{2^2}.5} = \sqrt {20} .$
$3 = \sqrt {{3^2}} $ nên $ – 3\sqrt 2 = – \sqrt {{3^2}} .\sqrt 2 $ $ = – \sqrt {{3^2}.2} = – \sqrt {18} .$
$\frac{2}{3} = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} $ nên $ – \frac{2}{3}\sqrt {ab} = – \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} .\sqrt {ab} $ $ = – \sqrt {\frac{{4ab}}{9}} .$
$a = \sqrt {{a^2}} $ do $a > 0$ nên $a\sqrt {\frac{3}{a}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {\frac{3}{a}} $ $ = \sqrt {{a^2}.\frac{3}{a}} = \sqrt {3a} .$
Ví dụ 2: So sánh:
a) $2\sqrt 3 $ và $\sqrt {13} .$
b) $7$ và $3\sqrt 5 .$
c) $\frac{1}{3}\sqrt {51} $ và $\frac{1}{5}\sqrt {150} .$
d) $\frac{1}{2}\sqrt 6 $ và $6\sqrt {\frac{1}{2}} .$
a) Ta có $2\sqrt 3 = \sqrt {{2^2}.3} $ $ = \sqrt {12} < \sqrt {13} .$
b) Vì $7 = \sqrt {49} $ và $3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} $ $ = \sqrt {45} < \sqrt {49} .$
Vậy $3\sqrt 5 < 7.$
c) Vì $\frac{1}{3}\sqrt {51} = \sqrt {\frac{{51}}{{{3^2}}}} = \sqrt {\frac{{17}}{3}} $ và $\frac{1}{5}\sqrt {150} = \sqrt {\frac{{150}}{{{5^2}}}} = \sqrt 6 $ nên:
$\sqrt 6 > \sqrt {\frac{{17}}{3}} $ $ \Rightarrow \frac{1}{5}\sqrt {150} > \frac{1}{3}\sqrt {51} .$
d) Vì $\frac{1}{2}\sqrt 6 = \sqrt {\frac{6}{{{2^2}}}} = \sqrt {\frac{3}{2}} $ và $6\sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{{1.36}}{2}} = \sqrt {18} $ nên:
$\sqrt {18} > \sqrt {\frac{3}{2}} $ $ \Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt 6 < 6\sqrt {\frac{1}{2}} .$
Ví dụ 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) $3\sqrt 5 $, $2\sqrt 6 $, $\sqrt {29} $, $4\sqrt 2 .$
b) $6\sqrt 2 $, $\sqrt {38} $, $3\sqrt 7 $, $2\sqrt {14} .$
Đưa một thừa số vào trong dấu căn rồi sắp thứ tự các số trong dấu căn.
a) Ta có $3\sqrt 5 = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} $, $2\sqrt 6 = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} $, $4\sqrt 2 = \sqrt {32} $ nên $\sqrt {24} < \sqrt {29} < \sqrt {32} < \sqrt {45} .$ Suy ra $2\sqrt 6 < \sqrt {29} < 4\sqrt 2 < 3\sqrt 5 .$
b) Ta có $6\sqrt 2 = \sqrt {{6^2}.2} = \sqrt {72} $, $3\sqrt 7 = \sqrt {9.7} = \sqrt {63} $, $2\sqrt {14} = \sqrt {{2^2}.14} = \sqrt {56} $ nên $\sqrt {38} < \sqrt {56} < \sqrt {63} < \sqrt {72} .$ Suy ra $\sqrt {38} < 2\sqrt {14} < 3\sqrt 7 < 6\sqrt 2 .$
Dạng 3. KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI CỦA PHÂN THỨC
I. Phương pháp giải
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Nhân tử và mẫu của phân thức ở trong căn với mẫu số.
Áp dụng quy tắc khai phương một thương.
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi giản ước cho nhân tử chung.
2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai của phân thức
Khử mẫu của biểu thức lấy căn.
Thu gọn các căn thức đồng dạng.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
a) $\sqrt {\frac{3}{2}} .$
b) $\sqrt {\frac{{3a}}{{5b}}} $ với $a.b > 0.$
c) $\sqrt {\frac{5}{{12}}} .$
d) $\sqrt {\frac{{5x}}{{18y}}} $ với $x.y > 0.$
a) $\sqrt {\frac{3}{2}} = \sqrt {\frac{{3.2}}{{2.2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.$
b) $\sqrt {\frac{{3a}}{{5b}}} = \sqrt {\frac{{3a.5b}}{{5b.5b}}} $ $ = \frac{{\sqrt {15ab} }}{{\sqrt {{{(5b)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {15ab} }}{{5|b|}}.$
c) $\sqrt {\frac{5}{{12}}} = \sqrt {\frac{{5.12}}{{12.12}}} = \frac{{\sqrt {60} }}{{\sqrt {{{12}^2}} }}$ $ = \frac{{\sqrt {4.15} }}{{12}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.$
d) $\sqrt {\frac{{5x}}{{18y}}} = \sqrt {\frac{{5x.18y}}{{18y.18y}}} $ $ = \frac{{\sqrt {90xy} }}{{\sqrt {{{(18y)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10xy} }}{{18|y|}}$ $ = \frac{{\sqrt {10xy} }}{{6|y|}}.$
Ví dụ 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
a) $\sqrt {\frac{{24}}{5}} .$
b) $\sqrt {\frac{3}{{125}}} $ với $x > 0.$
c) $\sqrt {\frac{3}{{2{x^3}}}} .$
d) $\sqrt {\frac{5}{{98{a^3}}}} $ với $a > 0.$
a) $\sqrt {\frac{{24}}{5}} = \sqrt {\frac{{24.5}}{{5.5}}} = \frac{{\sqrt {4.30} }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{2\sqrt {30} }}{5}.$
b) $\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \sqrt {\frac{{3.125}}{{125.125}}} $ $ = \frac{{\sqrt {25.15} }}{{\sqrt {{{125}^2}} }} = \frac{{5\sqrt {15} }}{{125}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}.$
c) $\sqrt {\frac{3}{{2{x^3}}}} = \sqrt {\frac{{3.2{x^3}}}{{2{x^3}.2{x^3}}}} $ $ = \frac{{\sqrt {{x^2}.6x} }}{{\sqrt {{{\left( {2{x^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{x\sqrt {6x} }}{{2{x^3}}} = \frac{{\sqrt {6x} }}{{2{x^2}}}$ (vì $x > 0$).
d) $\sqrt {\frac{5}{{98{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{5.98{a^3}}}{{98{a^3}.98{a^3}}}} $ $ = \frac{{\sqrt {49{a^2}.10a} }}{{\sqrt {{{\left( {98{a^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{7a\sqrt {10a} }}{{98{a^3}}}$ $ = \frac{{\sqrt {10a} }}{{14{a^2}}}.$ (vì $a > 0$).
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:
a) $M = 5\sqrt {\frac{1}{5}} + \frac{5}{2}\sqrt {\frac{4}{5}} – 3\sqrt 5 .$
b) $N = 3\sqrt {\frac{1}{2}} + \sqrt {4,5} – \sqrt {12,5} .$
c) $P = \sqrt {\frac{1}{3}} + \sqrt {1\frac{1}{5}} + 4\sqrt 3 .$
d) $Q = 2\sqrt a – a\sqrt {\frac{4}{a}} + {a^2}\sqrt {\frac{9}{{{a^3}}}} .$
a) Vì:
$\sqrt {\frac{1}{5}} = \sqrt {\frac{{1.5}}{{5.5}}} $ $ = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.$
$\sqrt {\frac{4}{5}} = \sqrt {\frac{{4.5}}{{5.5}}} $ $ = \frac{{\sqrt {4.5} }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$
Nên: $M = 5.\frac{{\sqrt 5 }}{5} + \frac{5}{2}.\frac{{2\sqrt 5 }}{5} – 3\sqrt 5 $ $ = \sqrt 5 + \sqrt 5 – 3\sqrt 5 $ $ = – \sqrt 5 .$
b) Vì:
$\sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{{1.2}}{{2.2}}} $ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
$\sqrt {4,5} = \sqrt {\frac{9}{2}} $ $ = \frac{{\sqrt {9.2} }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.$
$\sqrt {12,5} = \sqrt {\frac{{25}}{2}} $ $ = \frac{{\sqrt {25.2} }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}.$
Nên: $N = 3.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} – \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
c) Vì:
$\sqrt {\frac{1}{3}} = \sqrt {\frac{{1.3}}{{3.3}}} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
$\sqrt {1\frac{1}{3}} = \sqrt {\frac{{4.3}}{{3.3}}} $ $ = \frac{{\sqrt {4.3} }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
Nên:
$P = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 4\sqrt 3 $ $ = \sqrt 3 \left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 4} \right)$ $ = 5\sqrt 3 .$
d) Vì:
$\sqrt {\frac{4}{a}} = \sqrt {\frac{{4.a}}{{a.a}}} $ $ = \frac{{\sqrt {4a} }}{{\sqrt {{a^2}} }} = \frac{{2\sqrt a }}{a}.$
$\sqrt {\frac{{9a}}{{{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{9.a}}{{{a^3}.a}}} $ $ = \frac{{3\sqrt a }}{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt a }}{{{a^2}}}.$
Nên: $Q = 2\sqrt a – a.\frac{{2\sqrt a }}{a} + {a^2}.\frac{{3\sqrt a }}{{{a^2}}}$ $ = 2\sqrt a – 2\sqrt a + 3\sqrt a $ $ = 3\sqrt a .$
Dạng 4. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU SỐ – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Ở MẪU SỐ
I. Phương pháp giải
1. Trục căn thức ở mẫu số
Xác định biểu thức liên hợp.
Nhân liên hợp để khai căn.
Giản ước, thu gọn (nếu được).
2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ở mẫu
Trục căn thức ở mẫu.
Thu gọn các căn thức đồng dạng.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu:
a) $\frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
b) $\frac{2}{{\sqrt 3 }}.$
c) $\frac{3}{{\sqrt 5 }}.$
d) $\frac{4}{{\sqrt 6 }}.$
e) $\frac{5}{{\sqrt {20} }}.$
f) $\frac{6}{{\sqrt 8 }}.$
a) $\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{1.\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
b) $\frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2.\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}$ $ = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
c) $\frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3.\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }}$ $ = \frac{{3\sqrt 5 }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}.$
d) $\frac{4}{{\sqrt 6 }} = \frac{{4.\sqrt 6 }}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }}$ $ = \frac{{4\sqrt 6 }}{{\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{6} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.$
e) Vì $\sqrt {20} $ liên hợp với $\sqrt 5 $ (do $\sqrt {20} .\sqrt 5 = \sqrt {100} $ $ = \sqrt {{{10}^2}} = 10$) nên: $\frac{5}{{\sqrt {20} }} = \frac{{5.\sqrt 5 }}{{\sqrt {20} .\sqrt 5 }}$ $ = \frac{{5\sqrt 5 }}{{\sqrt {{{10}^2}} }} = \frac{{5\sqrt 5 }}{{10}}$ $ = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.$
f) Vì $\sqrt 8 $ liên hợp với $\sqrt 2 $ (do $\sqrt 8 .\sqrt 2 = \sqrt {16} $ $ = \sqrt {{4^2}} = 4$) nên: $\frac{6}{{\sqrt 8 }} = \frac{{6.\sqrt 2 }}{{\sqrt 8 .\sqrt 2 }}$ $ = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2}} }} = \frac{{6\sqrt 2 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.$
Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu với giả thiết $a$, $b$, $x$, $y$ là những số dương:
a) $\frac{a}{{\sqrt a }}.$
b) $\frac{a}{{\sqrt {ab} }}.$
c) $\frac{x}{{\sqrt {3{x^3}} }}.$
d) $\frac{{4{y^2}}}{{\sqrt {2{y^5}} }}.$
a) $\frac{a}{{\sqrt a }} = \frac{{{{(\sqrt a )}^2}}}{{\sqrt a }} = \sqrt a .$
b) $\frac{a}{{\sqrt {ab} }} = \frac{{a\sqrt {ab} }}{{\sqrt {ab} \sqrt {ab} }}$ $ = \frac{{a\sqrt {ab} }}{{{{(\sqrt {ab} )}^2}}} = \frac{{a\sqrt {ab} }}{{ab}}$ $ = \frac{{\sqrt {ab} }}{b}.$
c) $\frac{x}{{\sqrt {3{x^3}} }} = \frac{{x\sqrt {3x} }}{{\sqrt {3{x^3}} \sqrt {3x} }}$ $ = \frac{{x\sqrt {3x} }}{{{{(\sqrt {3{x^2}} )}^2}}} = \frac{{x\sqrt {3x} }}{{3{x^2}}}$ $ = \frac{{\sqrt {3x} }}{{3x}}.$
d) $\frac{{4{y^2}}}{{\sqrt {2{y^5}} }} = \frac{{4{y^2}\sqrt {2y} }}{{\sqrt {2{y^5}} \sqrt {2y} }}$ $ = \frac{{4{y^2}\sqrt {2y} }}{{{{(\sqrt {2{y^3}} )}^2}}} = \frac{{4{y^2}\sqrt {2y} }}{{2{y^3}}}$ $ = \frac{{2\sqrt {2y} }}{y}.$
Ví dụ 3: Trục căn thức ở mẫu:
a) $\frac{1}{{\sqrt 2 – 1}}.$
b) $\frac{2}{{\sqrt 3 + 1}}.$
c) $\frac{3}{{\sqrt 5 – 2}}.$
d) $\frac{4}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}.$
e) $\frac{5}{{\sqrt 7 – \sqrt 2 }}.$
f) $\frac{6}{{2\sqrt 3 + \sqrt 2 }}.$
a) $\frac{1}{{\sqrt 2 – 1}} = \frac{{1(\sqrt 2 + 1)}}{{(\sqrt 2 – 1)(\sqrt 2 + 1)}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} – {1^2}}} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{2 – 1}}$ $ = \sqrt 2 + 1.$
b) $\frac{2}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{2(\sqrt 3 – 1)}}{{(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 – 1)}}$ $ = \frac{{2(\sqrt 3 – 1)}}{{{{(\sqrt 3 )}^2} – {1^2}}} = \frac{{2(\sqrt 3 – 1)}}{{3 – 1}}$ $ = \sqrt 3 – 1.$
c) $\frac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }} = \frac{{3(\sqrt 5 + \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 5 + \sqrt 2 )(\sqrt 5 – \sqrt 2 )}}$ $ = \frac{{3(\sqrt 5 + \sqrt 2 )}}{{{{(\sqrt 5 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{{3(\sqrt 5 + \sqrt 2 )}}{{5 – 2}}$ $ = \sqrt 5 + \sqrt 2 .$
d) $\frac{4}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{4(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 3 + \sqrt 2 )(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}$ $ = \frac{{4(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}{{{{(\sqrt 3 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{{4(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}{{3 – 2}}$ $ = 4(\sqrt 3 – \sqrt 2 ).$
e) $\frac{5}{{\sqrt 7 – \sqrt 2 }} = \frac{{5(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 7 + \sqrt 2 )(\sqrt 7 – \sqrt 2 )}}$ $ = \frac{{5(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{{{(\sqrt 7 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{{5(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{7 – 2}}$ $ = \sqrt 7 + \sqrt 2 .$
f) $\frac{6}{{2\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{6(2\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}{{(2\sqrt 3 + \sqrt 2 )(2\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}$ $ = \frac{{6(2\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}{{{{(2\sqrt 3 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{{6(2\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}{{12 – 2}}$ $ = \frac{{3(2\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}{5}.$
Ví dụ 4: Trục căn thức ở mẫu:
a) $\frac{1}{{\sqrt a + b}}.$
b) $\frac{2}{{\sqrt a – \sqrt b }}.$
c) $\frac{3}{{2\sqrt a + 1}}.$
d) $\frac{{2xy}}{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}.$
a) $\frac{1}{{\sqrt a + b}} = \frac{{1(\sqrt a – b)}}{{(\sqrt a + b)(\sqrt a – b)}}$ $ = \frac{{\sqrt a – b}}{{{{(\sqrt a )}^2} – {b^2}}} = \frac{{\sqrt a – b}}{{a – {b^2}}}.$
b) $\frac{2}{{\sqrt a – \sqrt b }} = \frac{{2(\sqrt a + \sqrt b )}}{{(\sqrt a + \sqrt b )(\sqrt a – \sqrt b )}}$ $ = \frac{{2(\sqrt a + \sqrt b )}}{{{{(\sqrt a )}^2} – {{(\sqrt b )}^2}}} = \frac{{2(\sqrt a + \sqrt b )}}{{a – b}}.$
c) $\frac{3}{{2\sqrt a + 1}} = \frac{{3(2\sqrt a – 1)}}{{(2\sqrt a + 1)(\sqrt a – 1)}}$ $ = \frac{{3(2\sqrt a – 1)}}{{{{(2\sqrt a )}^2} – {1^2}}} = \frac{{3(2\sqrt a – 1)}}{{4a – 1}}.$
d) $\frac{{2xy}}{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}$ $ = \frac{{2xy(2\sqrt x – 3\sqrt y )}}{{(2\sqrt x + 3\sqrt y )(2\sqrt x – 3\sqrt y )}}$ $ = \frac{{2xy(2\sqrt x – 3\sqrt y )}}{{{{(2\sqrt x )}^2} – {{(3\sqrt y )}^2}}}$ $ = \frac{{2xy(2\sqrt x – 3\sqrt y )}}{{4x – 9y}}.$
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức:
a) $M = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{2 – \sqrt 3 }}.$
b) $N = \frac{2}{{\sqrt 3 – 1}} – \frac{2}{{\sqrt 3 + 1}}.$
c) $P = \frac{3}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \frac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}.$
d) $Q = \frac{4}{{\sqrt 7 – \sqrt 3 }} – \frac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 3 }}.$
a) $M = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{2 – \sqrt 3 }}$ $ = \frac{{2 – \sqrt 3 + 2 + \sqrt 3 }}{{(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 )}}$ $ = \frac{4}{{{2^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}}}$ $ = \frac{4}{{4 – 3}} = 4.$
b) $N = \frac{2}{{\sqrt 3 – 1}} – \frac{2}{{\sqrt 3 + 1}}$ $ = \frac{{2(\sqrt 3 + 1) – 2(\sqrt 3 – 1)}}{{(\sqrt 3 – 1)(\sqrt 3 + 1)}}$ $ = \frac{{2(\sqrt 3 + 1 – \sqrt 3 + 1)}}{{{{(\sqrt 3 )}^2} – {1^2}}}$ $ = \frac{4}{{3 – 1}} = 2.$
c) $P = \frac{3}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \frac{3}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}$ $ = \frac{{3(\sqrt 5 + \sqrt 2 ) + 3(\sqrt 5 – \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 5 – \sqrt 2 )(\sqrt 5 + \sqrt 2 )}}$ $ = \frac{{3(\sqrt 5 – \sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 2 )}}{{{{(\sqrt 5 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}}$ $ = \frac{{3.2\sqrt 5 }}{{5 – 2}} = 2\sqrt 5 .$
d) $Q = \frac{4}{{\sqrt 7 – \sqrt 3 }} – \frac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 3 }}$ $ = \frac{{4(\sqrt 7 + \sqrt 3 ) – 4(\sqrt 7 – \sqrt 3 )}}{{(\sqrt 7 + \sqrt 3 )(\sqrt 7 – \sqrt 3 )}}$ $ = \frac{{4(\sqrt 7 + \sqrt 3 – \sqrt 7 + \sqrt 3 )}}{{{{(\sqrt 7 )}^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}}}$ $ = \frac{{4.2\sqrt 3 }}{{7 – 3}} = 2\sqrt 3 .$
Dạng 5. BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Thông thường dạng toán này cho dưới dạng tổng hợp, gồm có:
+ Một câu hỏi chính: Rút gọn biểu thức.
+ Các câu hỏi phụ:
1. Tìm giá trị của biểu thức.
2. Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị bằng một giá trị cho trước.
3. Tìm giá trị của biến để biểu thức lớn hơn hay nhỏ hơn một giá trị cho trước.
I. Phương pháp giải
1. Với câu hỏi chính: Rút gọn biểu thức, có hai cách:
+ Cách 1: Sử dụng phép hữu tỉ hóa toàn phần: Đặt biểu thức chứa dấu căn bằng biến mới, chuyển vô tỉ về hữu tỉ.
+ Cách 2: Biến đổi trực tiếp các biểu thức chứa căn.
2. Với các câu hỏi phụ: Khi làm những bài toán liên quan đến giá trị của biểu thức thì trước hết phải tìm điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác định. Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một biểu thức được xác định thì biểu thức ấy và biểu thức được rút gọn của nó có cùng một giá trị.
3. Khi rút gọn phải thực hiện đúng thứ tự các phép tính.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho biểu thức: $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{6\sqrt x – 4}}{{x – 1}}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1.$
1. Rút gọn biểu thức $P.$
2. Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x = 9.$
3. Tìm $x$ để $P < \frac{1}{2}.$
1.
Cách 1: Đặt $\sqrt x = a$ thì $x = {a^2}$ thu được:
$P = \frac{a}{{a – 1}} + \frac{3}{{a + 1}} – \frac{{6a – 4}}{{{a^2} – 1}}.$
$ = \frac{{a(a + 1) + 3(a – 1)}}{{{a^2} – 1}} – \frac{{6a – 4}}{{{a^2} – 1}}$ $ = \frac{{{a^2} + a + 3a – 3 + 6a + 4}}{{{a^2} – 1}}.$
$ = \frac{{{a^2} – 2a + 1}}{{{a^2} – 1}}$ $ = \frac{{{{(a – 1)}^2}}}{{(a – 1)(a + 1)}}$ $ = \frac{{a – 1}}{{a + 1}}.$
Thay $a = \sqrt x $ vào $P$ ta được $P = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}.$
Cách 2:
$P = \frac{{\sqrt x (\sqrt x + 1) + 3(\sqrt x – 1)}}{{x – 1}}$ $ – \frac{{6\sqrt x – 4}}{{x – 1}}.$
$ = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x – 3 – 6\sqrt x + 4}}{{x – 1}}$ $ = \frac{{x – 2\sqrt x + 1}}{{x – 1}}.$
$ = \frac{{{{(\sqrt x – 1)}^2}}}{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}$ $ = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}.$
2. Với $x = 9$ $ \Rightarrow \sqrt x = 3$ thoả mãn điều kiện xác định. Thay $\sqrt x = 3$ vào $P$ ta được $P = \frac{{3 – 1}}{{3 + 1}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$
3. Do $x \ge 0$ và $x \ne 1$ nên $P < \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} < \frac{1}{2}.$
$ \Leftrightarrow 2(\sqrt x – 1) < \sqrt x + 1$ $ \Leftrightarrow 2\sqrt x – 2 < \sqrt x + 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt x < 3.$
Từ $x \ge 0$ $ \Rightarrow \sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x < 3$ $ \Leftrightarrow 0 \le \sqrt x \le 3$ $ \Leftrightarrow 0 \le x \le 9.$
Vậy $0 \le x \le 9$ và $x \ne 1$ là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho biểu thức: $Q = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} – \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}} – \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 1}}} \right)$ với $x > 0$, $x \ne 1$ và $x \ne 4.$
1) Rút gọn $Q.$
2) Tìm $x$ để $Q > 0.$
1) Vì $Q$ có dạng $m:n$ nên ta thực hiện theo thứ tự sau:
Làm tính ở ngoặc thứ nhất:
$m = \frac{1}{{\sqrt x – 1}} – \frac{1}{{\sqrt x }}$ $ = \frac{{\sqrt x – \sqrt x + 1}}{{\sqrt x (\sqrt x – 1)}}$ $ = \frac{1}{{\sqrt x (\sqrt x – 1)}}.$
Làm tính ở ngoặc thứ hai:
$n = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}} – \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 1}}$ $ = \frac{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x – 1) – (\sqrt x + 2)(\sqrt x – 2)}}{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x – 2)}}$ $ = \frac{{x – 1 – x + 4}}{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x – 2)}}$ $ = \frac{3}{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x – 2)}}.$
Làm phép chia $m$ cho $n$ ta được:
$Q = \frac{1}{{\sqrt x (\sqrt x – 1)}}:\frac{3}{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x – 2)}}$ $ = \frac{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x – 2)}}{{3\sqrt x (\sqrt x – 1)}}$ $ = \frac{{\sqrt x – 2}}{{3\sqrt x }}.$
2) Do $x > 0$, $x \ne 1$ và $x \ne 4$ suy ra $3\sqrt x > 0$ nên $Q > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x – 2}}{{3\sqrt x }} > 0.$
$ \Leftrightarrow \sqrt x – 2 > 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt x > 2$ $ \Leftrightarrow x > 4.$
Ta thấy $x > 4$ thoả mãn điều kiện xác định.
Vậy $x > 4$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho biểu thức: $R = \left( {1 + \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} – \frac{{2\sqrt x }}{{x\sqrt x + \sqrt x – x – 1}}} \right)$ với $x \ge 0$, $x \ne 1.$
1) Rút gọn $R.$
2) Tìm $x$ để $R = 7.$
3) Tính giá trị của $R$ tại $x = 2(2 + \sqrt 3 ).$
4) Tìm $x$ để $R < 1.$
1) Trước hết ta phân tích mẫu thành nhân tử:
$x\sqrt x + \sqrt x – x – 1$ $ = \sqrt x (x + 1) – 1(x + 1)$ $ = (x + 1)(\sqrt x – 1).$
Vì $R$ có dạng $m:n$ nên ta thực hiện theo thứ tự sau:
Làm tính ở ngoặc thứ nhất:
$m = 1 + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ $ = \frac{{x + 1 + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.$
Làm tính ở ngoặc thứ hai:
$n = \frac{1}{{\sqrt x – 1}} – \frac{{2\sqrt x }}{{(\sqrt x – 1)(x + 1)}}$ $ = \frac{{x + 1 – 2\sqrt x }}{{(\sqrt x – 1)(x + 1)}}$ $ = \frac{{{{(\sqrt x – 1)}^2}}}{{(\sqrt x – 1)(x + 1)}}$ $ = \frac{{(\sqrt x – 1)}}{{(x + 1)}}.$
Làm phép chia $m$ cho $n$ ta được:
$R = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + 1}}:\frac{{\sqrt x – 1}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{(x + \sqrt x + 1)(x + 1)}}{{(x + 1)(\sqrt x – 1)}}$ $ = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}}$ với $x \ge 0$, $x \ne 1.$
2) Do $x \ge 0$, $x \ne 1$ nên $R = 7$ $ \Leftrightarrow \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} = 7.$
$ \Leftrightarrow x + \sqrt x + 1 = 7(\sqrt x – 1).$
$ \Leftrightarrow x – 6\sqrt x + 8 = 0$ $ \Leftrightarrow (\sqrt x – 2)(\sqrt x – 4) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt x = 2}\\
{\sqrt x = 4}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4}\\
{x = 16}
\end{array}} \right..$
Ta thấy $x = 4$, $x = 16$ thoả mãn điều kiện $x \ge 0$, $x \ne 1.$
Vậy $x = 4$, $x = 16$ là hai giá trị cần tìm.
3) Vì $x = 2(2 + \sqrt 3 )$ $ = 4 + 2\sqrt 3 = {(\sqrt 3 + 1)^2}$ thoả mãn điều kiện $x \ge 0$, $x \ne 1$ nên $\sqrt x = \sqrt 3 + 1$, thay $x = 4 + 2\sqrt 3 $ và $\sqrt x = \sqrt 3 + 1$ vào $R$ ta được:
$R = \frac{{4 + 2\sqrt 3 + \sqrt 3 + 1 + 1}}{{\sqrt 3 + 1 + 1}}$ $ = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{9 + 6\sqrt 3 }}{3}$ $ = 3 + 2\sqrt 3 .$
4) Do $x > 0$, $x \ne 1$ nên $R < 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} < 1.$
$ \Leftrightarrow \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} – 1 < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{x + \sqrt x + 1 – \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x – 1}} < 0.$
$ \Leftrightarrow \sqrt x – 1 < 0$ (do $x + 2 > 0$) $ \Leftrightarrow \sqrt x < 1.$
Vì $x \ge 0$ $ \Rightarrow \sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x < 1$ $ \Leftrightarrow 0 \le \sqrt x < 1$ $ \Leftrightarrow 0 \le x < 1.$
Vậy $0 \le x < 1$ là giá trị cần tìm.
Dạng 6. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
I. Phương pháp giải
Sử dụng một trong ba cách sau:
1. Biến đổi vế trái ($VT$) = vế phải ($VP$).
2. Biến đổi $VP = VT.$
3. Biến đổi để hai vế bằng nhau.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:
a) ${(\sqrt 3 – 1)^2} = 4 – 2\sqrt 3 .$
b) $\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } – \sqrt 3 = – 1.$
c) $(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ) = 1.$
d) $(\sqrt {2010} – \sqrt {2009} )$ và $(\sqrt {2010} + \sqrt {2009} )$ là hai số nghịch đảo của nhau.
a) Khai triển hằng đẳng thức ở vế trái ta được:
$VT = {(\sqrt 3 )^2} – 2\sqrt 3 .1 + {1^2}$ $ = 3 – 2\sqrt 3 + 1$ $ = 4 – 2\sqrt 3 = VP.$
b) Áp dụng câu a ta có:
$VT = \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} – \sqrt 3 $ $ = \sqrt 3 – 1 – \sqrt 3 = – 1.$
c) Khai triển hằng đẳng thức ở vế trái ta được:
$VT = {2^2} – {(\sqrt 3 )^2}$ $ = 4 – 3 = 1 = VP.$
d) $(\sqrt {2010} – \sqrt {2009} )$ và $(\sqrt {2010} + \sqrt {2009} )$ là hai số nghịch đảo của nhau khi và chỉ khi tích của chúng bằng $1.$ Tức là: $(\sqrt {2010} + \sqrt {2009} )(\sqrt {2010} – \sqrt {2009} )$ $ = {(\sqrt {2010} )^2} – {(\sqrt {2009} )^2}$ $ = 2010 – 2009 = 1.$
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức:
a) $9 + 4\sqrt 5 = {(\sqrt 5 + 2)^2}.$
b) $\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } – \sqrt 5 = 2.$
c) ${(4 + \sqrt 7 )^2} = 23 + 8\sqrt 7 .$
d) $\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } – \sqrt 7 = 4.$
a) Phân tích vế trái thành nhân tử, ta được:
$VT = {(\sqrt 5 )^2} + 2\sqrt 5 .2 + {2^2}$ $ = {(\sqrt 5 + 2)^2} = VP.$
b) Áp dụng câu a ta có:
$VT = \sqrt {{{(\sqrt 5 + 2)}^2}} – \sqrt 5 $ $ = \sqrt 5 + 2 – \sqrt 5 = 2.$
c) Khai triển vế trái thành nhân tử, ta được:
$VT = {(\sqrt 7 + 4)^2}$ $ = {(\sqrt 7 )^2} + 2\sqrt 7 .4 + {4^2} = VP.$
d) Áp dụng câu c ta có:
$VT = \sqrt {{{(\sqrt 7 + 4)}^2}} – \sqrt 7 $ $ = \sqrt 7 + 4 – \sqrt 7 = 4.$
Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức:
a) $\frac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\frac{2}{3}} – 4\sqrt {\frac{3}{2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}.$
b) $\left( {x\sqrt {\frac{6}{x}} + \sqrt {\frac{{2x}}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} = 2\frac{1}{3}$ với $x > 0.$
c) $\left( {\frac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \frac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\frac{1}{{\sqrt 6 }} = -1,5.$
d) $\left( {\frac{{\sqrt {14} – \sqrt 7 }}{{1 – \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} – \sqrt 5 }}{{1 – \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }} = – 2.$
a) Thực hiện phép tính ở về trái ta được:
$VT = \frac{{3\sqrt 6 }}{2} + 2\sqrt {\frac{6}{{{3^2}}}} – 4\sqrt {\frac{6}{{{2^2}}}} $ $ = \frac{{3\sqrt 6 }}{2} + \frac{{2\sqrt 6 }}{3} – \frac{{4\sqrt 6 }}{2}$ $ = \frac{1}{6}(9\sqrt 6 + 4\sqrt 6 – 12\sqrt 6 )$ $ = \frac{{\sqrt 6 }}{6} = VP.$
b) Thực hiện phép chia căn thức ở vế trái ta được:
$VT = x\sqrt {\frac{6}{{x.6x}}} + \sqrt {\frac{{2x}}{{3.6x}}} + \sqrt {\frac{{6x}}{{6x}}} $ $ = x\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}} + \sqrt {\frac{1}{{{3^2}}}} + \sqrt 1 $ $ = \frac{x}{x} + \frac{1}{3} + 1$ $ = 2\frac{1}{3} = VP.$
c) Vì $\frac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} = \frac{{\sqrt 2 \sqrt 6 – \sqrt 6 }}{{2\sqrt 2 – 2}}$ $ = \frac{{\sqrt 6 (\sqrt 2 – 1)}}{{2(\sqrt 2 – 1)}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$ và $\frac{{\sqrt {216} }}{3} = \frac{{\sqrt {36.6} }}{3}$ $ = \frac{{6\sqrt 6 }}{3} = 2\sqrt 6 $ nên:
$VT = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2} – 2\sqrt 6 } \right)\frac{1}{{\sqrt 6 }}$ $ = -1,5 = VP.$
d) Vì $\frac{{\sqrt {14} – \sqrt 7 }}{{1 – \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} – \sqrt 5 }}{{1 – \sqrt 3 }}$ $ = \frac{{ – \sqrt 7 (1 – \sqrt 2 )}}{{1(1 – \sqrt 2 )}} + \frac{{ – \sqrt 5 (1 – \sqrt 3 )}}{{1(1 – \sqrt 3 )}}$ $ = – (\sqrt 7 + \sqrt 5 )$ nên $VT = – (\sqrt 7 + \sqrt 5 ):\frac{1}{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}$ $ = – (\sqrt 7 + \sqrt 5 )(\sqrt 7 – \sqrt 5 )$ $ = – {(\sqrt 7 )^2} + {(\sqrt 5 )^2}$ $ = – 7 + 5 = – 2 = VP.$
Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức:
a) $\frac{{(x\sqrt y + y\sqrt x )(\sqrt x – \sqrt y )}}{{\sqrt {xy} }} = x – y$ với $x > 0$, $y > 0.$
b) $\frac{{\sqrt {{y^3}} – 1}}{{\sqrt y – 1}} = y + \sqrt y + 1$ với $y > 0$, $y \ne 1.$
c) $\left( {1 + \frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{x – \sqrt x }}{{\sqrt x – 1}}} \right) = 1 – x$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1.$
a) Biến đổi vế trái ta được:
$VT = \frac{{x\sqrt {xy} – x\sqrt {{y^2}} + y\sqrt {{x^2}} – y\sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} }}$ $ = \frac{{x\sqrt {xy} – xy + yx – y\sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} }}$ $ = \frac{{x\sqrt {xy} – y\sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} }}$ $ = \frac{{\sqrt {xy} (x – y)}}{{\sqrt {xy} }}$ $ = x – y = VP.$
b) Biến đổi vế trái ta được:
$VT = \frac{{{{(\sqrt y )}^3} – 1}}{{\sqrt y – 1}}$ $ = \frac{{(\sqrt y – 1)(y + \sqrt y + 1)}}{{\sqrt y – 1}}$ $ = y + \sqrt y + 1 = VP.$
c) Biến đổi vế trái bằng hai cách:
Làm tính ở ngoặc thứ nhất: $1 + \frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ $ = 1 + \frac{{\sqrt x (\sqrt x + 1)}}{{1(\sqrt x + 1)}}$ $ = 1 + \sqrt x .$
Làm tính ở ngoặc thứ hai: $1 – \frac{{x – \sqrt x }}{{\sqrt x – 1}}$ $ = 1 – \frac{{\sqrt x (\sqrt x – 1)}}{{1(\sqrt x – 1)}}$ $ = 1 – \sqrt x $ nên:
$VT = (1 + \sqrt x )(1 – \sqrt x )$ $ = 1 – \sqrt {{x^2}} $ $ = 1 – x = VP.$
Dạng 7. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
I. Phương pháp giải
1. Biến đổi tương đương.
2. Biến đổi hệ quả.
3. Dùng bất đẳng thức Cô-si.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính hãy so sánh:
a) $\sqrt 2 + \sqrt 3 $ và $\sqrt {10} .$
b) $\sqrt 3 + 2$ và $\sqrt 2 + \sqrt 6 .$
c) $16$ và $\sqrt {15} .\sqrt {17} .$
d) $8$ và $\sqrt {15} + \sqrt {17} .$
a) Giả sử $\sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt {10} $ $(1).$
Ta có $(1) \Leftrightarrow {(\sqrt 2 + \sqrt 3 )^2} < {(\sqrt {10} )^2}.$
$ \Leftrightarrow 2 + 3 + 2\sqrt 6 < 10.$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt 6 < 5$ $ \Leftrightarrow 24 < 25$ $(2).$
Ta thấy $(2)$ đúng mà $(2) \Leftrightarrow (1).$ Vậy $(1)$ đúng hay $\sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt {10} .$
b) Giả sử $2 + \sqrt 3 < \sqrt 2 + \sqrt 6 $ $(1).$
Ta có $(1) \Leftrightarrow {(\sqrt 3 + 2)^2} < {(\sqrt 2 + \sqrt 6 )^2}.$
$ \Leftrightarrow 4 + 3 + 4\sqrt 3 < 2 + 6 + 2\sqrt {12} .$
$ \Leftrightarrow 4\sqrt 3 < (1 + 2\sqrt {12} )$ $ \Leftrightarrow 48 < 1 + 48 + 4\sqrt {12} $ $ \Leftrightarrow 1 < 4\sqrt {12} $ $(2).$
Ta thấy $(2)$ đúng mà $(2) \Leftrightarrow (1).$ Vậy $(1)$ đúng hay $2 + \sqrt 3 < \sqrt 2 + \sqrt 6 .$
c) Giả sử $16 < \sqrt {15} .\sqrt {17} $ $(1).$
Ta có $(1) \Leftrightarrow {16^2} < {(\sqrt {15} \sqrt {17} )^2}.$
$ \Leftrightarrow 256 < 255$ $(2).$
Ta thấy $(2)$ sai mà $(2) \Leftrightarrow (1).$ Vậy $(1)$ sai hay $16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} .$
d) Giả sử $8 > \sqrt {15} + \sqrt {17} $ $(1).$
Ta có $(1) \Leftrightarrow {8^2} > {(\sqrt {15} + \sqrt {17} )^2}$ $ = 15 + 17 + 2\sqrt {255} .$
$ \Leftrightarrow 16 > \sqrt {255} $ $ \Leftrightarrow 256 > 255$ $(2).$
Ta thấy $(2)$ đúng mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng hay $8 > \sqrt {15} + \sqrt {17} .$
Ví dụ 2: Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ${a^2} + {b^2} \ge 2ab.$
b) ${(a + b)^2} \ge 4ab.$
c) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ với $ab > 0.$
d) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{ab}}$ với $a > 0$, $b > 0.$
a) Ta có ${a^2} + {b^2} \ge 2ab$ $(1).$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab \ge 0$ $ \Leftrightarrow {(a – b)^2} \ge 0$ $(2).$
Do $(2)$ đúng với mọi $a$, $b.$
Mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng.
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a – b = 0 \Leftrightarrow a = b.$
b) Ta có ${(a + b)^2} \ge 4ab$ $(1).$
$ \Leftrightarrow {(a + b)^2} – 4ab \ge 0$ $ \Leftrightarrow {(a – b)^2} \ge 0$ $(2).$
Do $(2)$ đúng với mọi $a$, $b.$
Mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng.
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a – b = 0 \Leftrightarrow a = b.$
c) Ta có $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ $(1).$
$ \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} – 2 \ge 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{(a – b)}^2}}}{{ab}} \ge 0$ $(2).$
Do $(2)$ đúng với mọi $ab > 0.$
Mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng.
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a – b = 0 \Leftrightarrow a = b.$
d) Ta có: ${\frac{1}{b} + \frac{1}{a} \ge \frac{4}{{a + b}}}$ ${(1).}$
${ \Leftrightarrow {{(a + b)}^2} \ge 4ab}$ (vì $ab(a + b) > 0$).
$ \Leftrightarrow {(a – b)^2} – 4ab \ge 0$ $ \Leftrightarrow {(a – b)^2} \ge 0$ $(2).$
Do $(2)$ đúng với mọi $ab > 0$, mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng.
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a – b = 0$ $ \Leftrightarrow a = b > 0.$
Ví dụ 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca.$
b) ${(a + b + c)^2} \ge 3(ab + bc + ca).$
c) $3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3{(a + b + c)^2}.$
d) ${(ac + bd)^2} \ge \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right).$
a) Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$ $(1).$
$ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2(ab + bc + ca).$
$ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) – 2(ab + bc + ca) \ge 0.$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2ab$ $ + {b^2} + {c^2} – 2bc$ $ + {a^2} + {c^2} – 2ac \ge 0.$
$ \Leftrightarrow {(a – b)^2} + {(b – c)^2} + {(c – a)^2} \ge 0$ $(2).$
Do $(2)$ đúng với mọi $a$, $b$, $c.$
Mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng.
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a – b = 0}\\
{b – c = 0}\\
{c – a = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = b}\\
{b = c}\\
{c = a}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow a = b = c.$
b) Theo câu a ta có: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca.$
Cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên với $2(ab + bc + ca)$ thu được:
${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2(ab + bc + ca)$ $ \ge ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca).$
$ \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \ge 3(ab + bc + ca).$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c.$
c) Theo câu a ta có: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca.$
$ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2(ab + bc + ca).$
Cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên với ${a^2} + {b^2} + {c^2}$ thu được:
$3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3{(a + b + c)^2}.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c.$
d) Ta có: ${(ac + bd)^2} \ge \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$ $(1).$
$ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$ $ – {(ac + bd)^2} \ge 0.$
$ \Leftrightarrow {a^2}{c^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{d^2}$ $ – {a^2}{c^2} – {b^2}{d^2} – 2abcd \ge 0.$
$ \Leftrightarrow {(ad – bc)^2} \ge 0.$
Do $(2)$ đúng với mọi $a$, $b$, $c$, $d.$
Mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng.
Dấu bằng xảy ra khi $ad = bc.$
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
a) $M = x + \sqrt x + 1.$
b) $N = x – \sqrt x + 1.$
c) $P = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.$
d) $Q = \frac{{\sqrt x }}{{x – \sqrt x + 1}}.$
Trước hết ta phải tìm điều kiện của biến $x$ để giá trị của các biểu thức được xác định.
Giá trị của hai biểu thức $M$, $N$ được xác định khi $\sqrt x $ xác định hay $x \ge 0.$
Vì:
$x + \sqrt x + 1$ $ = {\left( {\sqrt x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ $ \ge \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x \ge 0.$
$x – \sqrt x + 1$ $ = {\left( {\sqrt x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ $ \ge \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x \ge 0.$
Nên giá trị của hai biểu thức $P$, $Q$ được xác định khi $x \ge 0.$
a) Vì $x \ge 0$ và $\sqrt x \ge 0$ nên $M = x + \sqrt x + 1$ $ \ge 0 + 0 + 1 = 1$ với mọi $x \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra khi $x = 0.$
Vậy $\min M = 1.$
b) Viết lại biểu thức thành $N = {\left( {\sqrt x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.$
Vì ${\left( {\sqrt x – \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \ge 0$ nên $N \ge \frac{3}{4}$ với mọi $x \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.$
Vậy $\min N = \frac{3}{4}$ đạt được tại $x = \frac{1}{4}.$
c) Vì $\sqrt x \ge 0$ với mọi $x \ge 0$ và $x + \sqrt x + 1$ $ = {\left( {\sqrt x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên $P \ge 0$ với mọi $x \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra khi $x = 0.$
Vậy $\min P = 0$ đạt được tại $x = 0.$
Lại có ${(\sqrt x – 1)^2} \ge 0$ với mọi $x \ge 0.$
Suy ra $1 = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}$ $ \ge \frac{{3\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = 3P$ hay $P \le \frac{1}{3}$ với mọi $x \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \sqrt x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt x = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy $\max P = \frac{1}{3}$ đạt được tại $x = 1.$
d) Tương tự như câu c ta có: $\min Q = 0.$
Lại có ${(\sqrt x – 1)^2} \ge 0$ với mọi $x \ge 0.$
Suy ra $1 = \frac{{x – \sqrt x + 1}}{{x – \sqrt x + 1}}$ $ \ge \frac{{\sqrt x }}{{x – \sqrt x + 1}} = Q$ hay $Q \le 1$ với mọi $x \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \sqrt x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt x = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy $\max Q = 1$ đạt được tại $x = 1.$
Ví dụ 5:
1) Chứng minh bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $a$ và $b$: $\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} .$
2) Áp dụng BĐT Cô-si, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
Với hai số không âm $a$ và $b$ thì:
a) ${(a + b)^2} \ge 4ab.$
b) $(a + b)(1 + ab) \ge 4ab.$
c) $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc.$
1) Ta có: $\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} $ $(1).$
$ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} $ $ \Leftrightarrow a + b – 2\sqrt {ab} \ge 0$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt a – \sqrt b )^2} \ge 0$ $(2).$
Do $(2)$ đúng với mọi $a \ge 0$, $b \ge 0.$
Mà $(2) \Leftrightarrow (1).$
Vậy $(1)$ đúng.
2)
a) Áp dụng BĐT Cô-si cho hai bộ, mỗi bộ hai số không âm là $a$, $b$ và $a$, $b$ ta được:
$a + b \ge 2\sqrt {ab} \ge 0$ $(1).$
$a + b \ge 2\sqrt {ab} \ge 0$ $(2).$
Nhân $(1)$ với $(2)$ theo vế ta được: ${(a + b)^2} \ge 4ab.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a = b.$
b) Áp dụng BĐT Cô-si cho hai bộ, mỗi bộ hai số không âm là $a$, $b$ và $1$, $ab$ ta được:
$a + b \ge 2\sqrt {ab} \ge 0$ $(1).$
$1 + ab \ge 2\sqrt {ab} \ge 0$ $(2).$
Nhân $(1)$ với $(2)$ theo từng vế ta được:
$(a + b)(1 + ab) \ge 4ab.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a = b$ và $1 = ab$ $ \Leftrightarrow a = b = 1.$
c) Áp dụng BĐT Cô-si cho ba bộ, mỗi bộ hai số không âm là $(a;b)$, $(b;c)$ và $(c;a)$ ta được:
$a + b \ge 2\sqrt {ab} \ge 0$ $(1).$
$b + c \ge 2\sqrt {bc} \ge 0$ $(2).$
$c + a \ge 2\sqrt {ca} \ge 0$ $(3).$
Nhân $(1)$, $(2)$, $(3)$ theo từng vế ta được: $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c.$
