Bài viết trình bày lý thuyết và hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số bậc nhất trong chương trình Đại số 9.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đồ thị của hàm số $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ là một đường thẳng.
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b.$
+ Song song với đường thẳng $y = ax$ nếu $b \ne 0.$
2. Cách vẽ đồ thị hàm số $y = ax + b$ $(a \ne 0).$
Vì đồ thị của hàm số $y = ax + b$ là một đường thẳng, do đó để vẽ được đồ thị của hàm số $y = ax + b$, ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị rồi nối hai điểm đó với nhau.
Lưu ý: Khi $a = 0$, đồ thị hàm số $y = b$ (hàm hằng) là một đường thẳng song song với trục hoành (khi $b \neq 0$).
3. Bổ sung kiến thức.
Sự tương giao giữa hai đồ thị:
Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ thì phương trình $f(x) = g(x)$ gọi là phương trình tương giao.
1. Đồ thị hàm số $f(x)$ cắt đồ thị hàm số $g(x)$ khi và chỉ khi phương trình tương giao có nghiệm.
2. Số giao điểm bằng số nghiệm của phương trình tương giao.
3. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình tương giao.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ $y = ax + b$ $(a \ne 0).$
I. Phương pháp giải
1. Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hệ trục toạ độ $Oxy.$
2. Lập bảng giá trị để xác định toạ độ hai điểm. Trong đó $M = (0;b).$ Điểm $N$ nên chọn giá trị $x$ sao cho toạ độ của điểm $N$ là những số nguyên.
3. Nối $MN$ ta được đồ thị hàm số.
4. Dựng đoạn thẳng Pytago hoặc đoạn trung bình nhân.
II. Ví dụ
Ví dụ 1:
a) Vẽ đồ thị các hàm số: $y = 2x$, $y = 2x + 5$, $y = – \frac{2}{3}x$ và $y = – \frac{2}{3}x + 5$ trên cùng mặt phẳng toạ độ.
b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác $OABC$ ($O$ là gốc toạ độ). Tứ giác $OABC$ có phải là hình bình hành không? Vì sao?
a) Lập bảng giá trị của các hàm số tại hai giá trị của biến:
b) Vì đường thẳng $y = 2x$ song song với đường thẳng $y = 2x + 5$ nên $AB // OC$ $(1).$
Đường thẳng $y = – \frac{2}{3}x$ song song với đường thẳng $y = – \frac{2}{3}x + 5$ nên $OA // BC$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $OABC$ là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song).
Ví dụ 2:
a) Vẽ đồ thị của các hàm số $y = x$ và $y = 2x + 2$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Gọi $A$ là giao điểm của hai đồ thị nói trên, tìm toạ độ của điểm $A.$
c) Vẽ qua $B(0;2)$ một đường thẳng song song với trục $Ox$ cắt đường thẳng $y = x$ tại điểm $C.$ Tìm tọa độ của điểm $C$ rồi tính diện tích tam giác $ABC$ (đơn vị trên các trục toạ độ là cm).
a) Lập bảng giá trị tại hai giá trị $x$ của hàm số:
b) Hoành độ giao điểm $A$ của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình tương giao $2x + 2 = x$ $ \Leftrightarrow x = – 2.$ Tung độ của $A$ là $y = x = -2.$ Vậy $A(-2;-2).$
c) Hoành độ $C$ là nghiệm của phương trình tương giao: $x = 2.$
Tung độ của $C$ là $y = x = 2.$
Vậy $C(2;2).$
Diện tích tam giác $OAC$ là: $S = \frac{1}{2}.4.2 = 4$ ($c{m^2}$).
Ví dụ 3:
a) Vẽ đồ thị các hàm số $y = x + 1$ và $y = -x + 3$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Hai đường thẳng $y = x + 1$ và $y = -x + 3$ cắt nhau tại $C$ và cắt trục $Ox$ theo thứ tự tại $A$ và $B.$ Tìm toạ độ của các điểm $A$, $B$, $C.$
c) Tính chu vi và diện tích tam giác $ABC$ (đơn vị đo trên các trục toạ độ là cm).
a) Lập bảng giá trị hàm số tại hai giá trị $x$ của hai hàm số đã cho:
Đồ thị như hình vẽ trên.
b) $y = x + 1$ cắt trục $Ox$ tại $A = (-1;0).$
$y = -x + 3$ cắt trục $Ox$ tại $B = (3;0).$
Hoành độ giao điểm $C$ của hai đồ thị là nghiệm của phương trình tương giao:
$x + 1 = – x + 3$ $ \Leftrightarrow 2x = 2$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Tung độ của $C$ là $y = 1 + 1 = 2.$
Vậy $C(1;2).$
c) Tam giác $ABC$ cân tại $C$ có $AB = 4$, $AC = BC.$
Theo hệ thức Pytago ta có:
$AC = BC$ $ = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = \sqrt 8 .$
Vậy chu vi tam giác $ABC$ là: $p = AB + AC + BC$ $ = 4 + 2\sqrt 8 $ $ = 4 + 4\sqrt 2 $ (cm).
Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB.CH$ $ = \frac{1}{2}.4.2 = 4$ (${c{m^2}}$).
Ví dụ 4: Đồ thị của hàm số $y = \sqrt 3 x + \sqrt 3 $ được vẽ bằng compa và thước thẳng. Hãy tìm hiểu cách vẽ đồ thị đó rồi nêu lại các bước thực hiện.
Áp dụng: Vẽ đồ thị của hàm số $y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 $ bằng compa và thước thẳng (Hướng dẫn: Tìm trên trục tung điểm có tung độ bằng $\sqrt 5 $).
Lập bảng giá trị của hàm số tại $x = 0$ và $x = -1.$
Ta được hai điểm $A(0;\sqrt 3 )$ và $C( – 1;0).$
Ta thấy điểm $C(-1;0)$ có tọa độ nguyên trên trục hoành $Ox$, xác định được ngay. Ta chỉ còn phải xác định điểm $A(0;\sqrt 3 )$ có toạ độ là số vô tỉ. Bài toán trở thành dựng đoạn $OA = \sqrt 3 = \sqrt {1.3} $ bằng thước và compa. Đây thực chất là bài toán dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng có độ dài là $1$ và $3.$
Bước 1: Lấy $I(1;0)$ trên trục $Ox$ làm tâm dựng nửa đường tròn đường kính $CB = 4.$
Bước 2: Giao điểm của nửa đường tròn ở trên với trục tung $Oy$ là điểm $A.$ Lúc đó $OA = \sqrt 3 $ theo hệ thức về đường cao của tam giác $CAB$ vuông tại $A.$ Nối hai điểm $C$ và $A$ ta được đồ thị của hàm số $y = \sqrt 3 x + \sqrt 3 .$
Chú ý: Cách dựng đoạn $OA = \sqrt 3 $ ở trên theo cách dựng đoạn trung bình nhân đơn giản hơn rất nhiều so với cách dựng đoạn $OA = \sqrt 3 $ nhờ định lí Pitago.
Vẽ đồ thị hàm số $y = \sqrt 5 x + \sqrt 5 .$
Lập bảng giá trị của hàm số tại $x = 0$ và $x = -1.$
Ta được hai điểm $C(-1;0)$ và $A(0;\sqrt 5 ).$ Đồ thị hàm số là đường thẳng $AC.$ Cách dựng đoạn $OA = \sqrt {1.5} $ như hình vẽ.
Ví dụ 5: Cho hàm số $y = (m – 2)x + m.$
a) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2.$
b) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-3.$
a) Giả sử đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A$ có tung độ bằng $2$ thì $A(0;2).$
Đồ thị của hàm số $y = (m – 2)x + m$ đi qua điểm $A(0;2)$ khi và chỉ khi tọa độ của $A$ thoả mãn phương trình của hàm số. Tức là $2 = (m – 2).0 + m$ $ \Leftrightarrow m = 2.$
Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.
b) Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $B$ có hoành độ bằng $-3$ thì $B(-3;0).$
Đồ thị hàm số $y = (m – 2)x + m$ đi qua điểm $B(-3;0)$ khi và chỉ khi toạ độ của $B$ thoả mãn phương trình của đồ thị.
Tức là: $0 = (m – 2).( – 3) + m$ $ \Leftrightarrow 3m – m = 6$ $ \Leftrightarrow m = 3.$
Vậy $m = 3$ là giá trị cần tìm.
III. Bài tập
1.
a) Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = – \frac{1}{2}x + 1$ với trục $Ox.$
b) Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = – \frac{3}{2}x – 2$ với trục $Oy.$
2. Cho hàm số $y = (m – 1)x + 3.$
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến? Nghịch biến?
b) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số đi qua điểm $A(1;2).$
c) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số đi qua điểm $B(1;-2).$
d) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của $m$ tìm được ở các câu b và c.
3.
a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số sau:
$y = 3$ $\left( {{d_1}} \right)$.
$y = x$ $\left( {{d_2}} \right)$.
$y = 2x$ $\left( {{d_3}} \right).$
b) Đường thẳng ${d_1}$ cắt các đường thẳng ${d_2}$, ${d_3}$ lần lượt tại $A$, $B.$ Tính toạ độ của $A$, $B$, chu vi và diện tích tam giác $OAB.$
4.
a) Vẽ đồ thị hàm số $y = \sqrt 3 x – \sqrt 3 $ bằng thước và compa.
b) Vẽ đồ thị hàm số $y = \sqrt 5 x – \sqrt 5 $ bằng thước và compa.
Dạng 2. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
I. Phương pháp giải
1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối nhờ định nghĩa:
$|A| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
A&{{\rm{nếu\:}}A \ge 0}\\
{ – A}&{{\rm{nếu\:}}A < 0}
\end{array}} \right..$
Thu được hai hàm số trên từng khoảng xác định.
2. Vẽ đồ thị hàm số ứng với $x \ge 0.$
3. Vẽ đồ thị hàm số ứng với $x < 0.$
Đồ thị của hai hàm số này chính là đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
II. Ví dụ
a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng hệ trục toạ độ:
$y = |x|$.
$y = |x + 1|.$
b) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị các hàm số $y = |x|$ và $y = |x + 1|.$ Từ đó suy ra phương trình $|x| = |x + 1|$ có một nghiệm duy nhất.
a) Vì $y = |x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
x&{{\rm{nếu\:}}x \ge 0}\\
{ – x}&{{\rm{nếu\:}}x < 0}
\end{array}} \right.$ nên ta được hai hàm số $y = f(x) = x$ với $x \ge 0$ và $y = g(x)=-x$ với $x < 0.$
Lập bảng giá trị của hai hàm số:
Vì $y = |x + 1|$ $ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1}&{{\rm{nếu\:}}x \ge – 1}\\
{ – x – 1}&{{\rm{nếu\:}}x < – 1}
\end{array}} \right.$ nên ta được hai hàm số $y = h(x) = x + 1$ với $x \ge – 1$ và $y = k(x) = -x – 1$ với $x < -1.$
Lập bảng giá trị của hai hàm số tại hai giá trị của $x.$
Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng hệ trục.
b) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).$ Từ đó suy ra phương trình $|x| = |x + 1|$ có một nghiệm duy nhất là $x = \frac{1}{2}.$
III. Bài tập
5. Vẽ đồ thị của hai hàm số $y = |x|$ và $y = |x – 2|$ trên cùng một hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên, từ đó suy ra nghiệm của phương trình $|x| = |x – 2|.$
