Tài liệu gồm 172 trang, được biên soạn bởi tác giả Mai Thành Luân, tuyển tập một số chuyên đề hình học phẳng thường gặp trong các đề thi Toán chuyên bậc THCS.
LỜI NÓI ĐẦU:
Hình học phẳng trong đề thi chuyên hiếm khi đòi hỏi một ý tưởng chưa từng xuất hiện. Phần lớn đề bài được dựng trên vài mô hình quen thuộc: tứ giác nội tiếp, phương tích của một điểm, cấu hình trực tâm, hai tiếp tuyến cắt nhau, điểm chính giữa cung, đường trung bình và đường trung trực. Khoảng cách giữa một lời giải trôi chảy và một trang giấy trắng, vì thế, thường nằm ở chỗ có nhận ra mô hình ấy kịp thời hay không, chứ không nằm ở khả năng tính toán.
Nền của mọi mô hình là quan hệ giữa góc và đường tròn. Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung nằm bên trong góc ấy; và quan trọng hơn cả, hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông thì cùng thuộc đường tròn nhận đoạn ấy làm đường kính. Riêng dấu hiệu cuối cùng đã đủ để mở phần lớn các bài toán có sẵn hai góc vuông trong hình, và nó còn cho biết thêm đường kính — một thông tin luôn dẫn tới những hệ thức độ dài về sau.
Công cụ thứ hai là phương tích. Với hai cát tuyến kẻ từ một điểm S tới cùng một đường tròn thì SA·SB = SC·SD; nếu một cát tuyến suy biến thành tiếp tuyến thì hệ thức trở thành ST2 = SA·SB. Điều đáng nhớ hơn cả là chiều đảo: hễ gặp một đẳng thức dạng tích như vậy trên hai đường thẳng cùng đi qua S, bốn điểm liên quan lập tức nằm trên một đường tròn. Đó là cách mạnh nhất để tạo ra một tứ giác nội tiếp khi đề bài không cho sẵn góc nào, và cũng là lý do nhiều bài toán tưởng chừng chỉ nói về độ dài lại giải được bằng đường tròn.
Cấu hình trực tâm xứng đáng được thuộc riêng. Một tam giác cùng ba đường cao sinh ra sáu tứ giác nội tiếp, chia làm hai họ: họ có đường kính là đoạn nối một đỉnh với trực tâm, và họ có đường kính là một cạnh. Trực tâm của tam giác nhọn chính là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ba chân đường cao; ảnh đối xứng của trực tâm qua mỗi cạnh đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp; đường cao và đường kính kẻ từ cùng một đỉnh thì đối xứng nhau qua tia phân giác của góc tại đỉnh đó.
Cấu hình hai tiếp tuyến cũng vậy. Đường nối tâm với điểm nằm ngoài luôn là trung trực của dây nối hai tiếp điểm, và từ một tam giác vuông duy nhất sinh ra cả chùm hệ thức, trong đó OH · OS = R2 là quan hệ nghịch đảo giải thích gần như mọi kết quả về độ dài của cấu hình. Điểm chính giữa cung thì cách đều hai đầu dây, nằm trên tia phân giác của góc nội tiếp chắn dây ấy, và cách đều tâm đường tròn nội tiếp. Còn khi cần chứng minh một điểm là trung điểm, ba hướng thường dùng nhất là: chỉ ra điểm ấy cách đều hai đầu mút của một đoạn được nhìn dưới góc vuông; dùng đường trung tuyến chia đôi mọi đoạn song song với cạnh đáy; hoặc dùng đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây.
Những bổ đề vừa nêu xuất hiện lặp đi lặp lại suốt tài liệu này, nên chúng cần được thuộc chứ không phải được tra. Chỉ khi trở thành phản xạ thì việc đọc đề mới đồng thời là việc nhìn ra đường đi, và một phút dành để tự hỏi cấu hình đang xét thuộc mô hình nào thường tiết kiệm cả trang tính toán.
Tài liệu được biên soạn theo hướng đi từ mô hình chứ không đi từ đề bài. Mỗi chuyên đề mở đầu bằng phần tổng kết các dấu hiệu và công cụ, sau đó là những bài tập sắp xếp sao cho cùng một mô hình lộ dần ra dưới nhiều lớp áo khác nhau; nhiều bài dùng chung một cấu hình nhưng hỏi những điều khác nhau, và đọc liền chúng sẽ thấy rõ vì sao chỉ cần thuộc một bổ đề mà giải được cả một chùm bài toán. Hình vẽ trong sách được dựng đúng tỉ lệ nên có thể dùng để đối chiếu khi tự vẽ, còn phần bài tập mở rộng ở cuối mỗi bài khai thác lại chính hình ấy, để một cấu hình được dùng cạn giá trị của nó.
MỤC LỤC:
Phần 1 – Chứng minh tứ giác nội tiếp 4.
Phần 2 – Chứng minh hai góc bằng nhau 17.
Phần 3 – Tỉ số bằng nhau và tam giác đồng dạng 48.
Phần 4 – Chứng minh trung điểm 57.
Phần 5 – Mô hình tâm nội tiếp trong đề thi chuyên 2026 67.
Phần 6 – Chuyên đề bổ trợ – Chứng minh ba điểm thẳng hàng 86.
Phần 7 – Ngân hàng luyện – 21 bài thẳng hàng 107.
